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Tout sur le calcul des déplacements d’une machine CNC

Un programme de calcul
L’étage de transmission
L’entraînement à vis
L’entraînement à courroie
L’entraînement à câbles
L’entraînement à crémaillère
La force réelle disponible

Un programme de calcul

Ci-joint une feuille Excel permettant le calcul d’une transmission à pignon/crémaillère ou à courroie, avec 1 ou deux étages de réduction à poulies/courroies ou à engrenages. On y trouve aussi de quoi calculer les entraxes de poulies.

Les exemples ci-dessous sont tirés des calculs de la machine Otocoup.

L’étage de transmission

Réducteur pour un entraînement à câble ou à courroie crantée
Accélérateur pour un entraînement à vis (ou en prise directe)

Application exemple :

Axe des X (horizontal) Transmission à engrenage, entraînement à courroie crantée.
Pignon moteur 12 dents, roue de sortie 90 dents, d’ou pour 1 tour moteur , 12/90 = 0.1333 tours en sortie.

Axe des Y (vertical) Transmission à engrenage, entraînement à courroie crantée.
Pignon moteur 12 dents, roue de sortie 100 dents, d’ou pour 1 tour moteur , 12/100 = 0.12 tours en sortie

Axe des Z (profondeur de coupe) Transmission à engrenage, entraînement à vis simple.
Pignon moteur 58 dents, roue de sortie 38 dents, d’ou pour 1 tour moteur , 58/38 = 1.528 tours en sortie

L’entraînement à vis

Axe des Z : Le module des engrenages choisi est de 1 (voir la définition du module Transmissions), mais c’est sans influence sur les calculs (mais pas sur l’encombrement !)

Si le premier étage est à courroies crantées, le calcul est exactement le même, on se base uniquement sur le nombre de dents.

Il faut noter qu’il est plus simple pour un entraînement à vis de prévoir une paire d’engrenages plutôt que de chercher à aligner le moteur et la vis. Chez Gotronic, il existe des engrenages en plastiques très économiques qui peuvent convenir (0.3 Euros/pièce)

Pas des filetages ISO :

M5	M6	M8	M10	M12	M16
0.8 mm	1 mm	1.25 mm	1.5 mm	1.75 mm	2 mm

Pour l’axe des Z, on utilise une vis/écrou de M8, dont le pas est de 1.25 mm Donc sur l’axe des Z, pour un tour moteur on a 58/38*1.25 = 1.908 mm Soit pour un moteur 200 pas 1.908/200= 0.00954 mm/pas, soit 0.00477 mm/demi-pas

L’entraînement à courroie

Si on prend une poulie de courroie à 14 dents, sur une courroie HTD 5M, au pas de 5mm Le développement de la courroie pour 1 tour est de 5 mm x 14 dents, soit 70 mm

Donc sur l’axe des X, pour un tour moteur on a 12/90*70 = 9.33 mm Soit pour un moteur 200 pas 9.333/200= 0.0466 mm/pas, soit 0.02333 mm/demi-pas

Donc sur l’axe des Y, pour un tour moteur on a 12/100*70 = 8.4 mm Soit pour un moteur 200 pas 8.4/200= 0.042 mm/pas, soit 0.021 mm/demi-pas

Le couple nominal de maintien des moteurs utilisés est de 6.2kg.cm, soit 620mN.m Pour une poulie de 70 mm de développement, le rayon est de 70/2/pi = 11.14 mm Quand on réduit la vitesse, le couple augmente.

Donc, sur l’axe des X, le couple en sortie est de 6.2 * 90/12 = 46.5 kg.cm Le rayon étant de 1.114 cm (attention aux unités), la force de maintien est de 46.5/1.114 = 41.74 kg

Donc, sur l’axe des Y, le couple en sortie est de 6.2 * 100/12 = 51.67 kg.cm La poulie est la même que sur l’axe des X la force de maintien est de 51.67/1.114 = 46.37 kg

Entraînement à câbles

Dans le cas d’une transmission à câble, c’est comparable à une transmission à courroie, mais la longueur d’enroulement est calculée différemment.

En effet, le câble s’insère dans les filets de la vis d’entraînement et y pénètre partiellement. En première approche, on peut estimer le diamètre moyen d’enroulement au diamètre extérieur moins la moitié du pas. En pratique, ça dépend beaucoup du diamètre du câble par rapport au pas de la vis.

Application pratique, machine Otocoup: Entraînement sur une tige filetée M8. Les tiges M8 ont un pas de 1.25mm, soit un diamètre estimé d’enroulement de 8–1/2 = 7.75 mm soit un développement de 7.75 * pi = 24.35 mm Le pignon moteur a 20 dents, la couronne entraînée 58 dents. Soit pour un tour moteur, une course de 20/58*24.35 = 8.40 mm/tour Ce qui nous donne, par pas (moteur 200 pas): 0.042 mm/pas, et 0.021 mm/demi-pas Le moteur délivre un couple nominal de 6.2 kg.cm soit sur l’arbre de sortie 58/20 * 6.2 = 17.98 kg.cm Le rayon d’enroulement étant de 7.75/2 = 3.875 mm = 0.3875 cm, on trouve un effort de : 17.98 / 0.3875 = 46.4 kg

L’entraînement à crémaillère

Voir la machine de Benoît Desbrus Un entraînement à crémaillère se calcule en fait comme un entraînement à courroie crantée. Après tout, une courroie crantée, c’est simplement une crémaillère qui s’enroule autour du pignon… Le pas d’une crémaillère est égal à son module multiplié par Pi Une crémaillère de module 1 aura donc un pas de 3.14 mm, alors qu’une crémaillère de module 1.5 aura un pas de 4.71 mm. Si on prend la machine de Benoît, Le moteur est réducté d’un facteur 3 (par une transmission à courroie crantée), pour un tour moteur on aura donc 0.33333 tour du pignon, lequel est d’un module de 1 et 18 dents, soit une circonférence de 18*1*pi = 56.55 mm. Pour un tour moteur, on parcourt donc 56.55mm*0.33333= 18.85 mm. Le moteur faisant 200 pas et étant commandé en 1/2 pas, on a donc un déplacement de 18.85mm/400 = 0.047mm par 1/2 pas.

La force réelle disponible

Le couple indiqué pour le moteur pas à pas est le couple maximum de maintien, moteur à l’arrêt, avec deux bobinages alimentés.
Dans la pratique, on fonctionne en demi-pas, c’est à dire que, alternativement, 1 ou 2 bobinages sont alimentés.
Lorsqu’un seul bobinage est alimenté, le couple est réduit d’environ 30% Lorsque l’on tourne à une certaine vitesse, le couple chute significativement.
On peut tabler sur une chute de 50%.
De plus, il y a les imprécisions mécaniques, les résonances, les irrégularités des tops, les accélérations à gérer.
Au bout du compte, on peut seulement tabler sur un effort réellement utilisable de l’ordre de 25% de l’effort théorique.
Pour le chariot des Y, on table donc sur un effort de 46.4 kg/4 = 11.6 kg Comme ce chariot est suspendu de tout son poids (6 à 9 kg) a la courroie, le poids se soustrait à l’effort possible Il nous reste donc, pour un chariot de 6kg, un effort possible sur l’outil de 11.6 kg - 6kg, soit 5.6 kg.
C’est suffisant, mais on voit qu’il y a eu de la perte !

Pour le chariot des X, on table sur un effort de 41.7 kg/4 = 10.4 kg La poutre fait environ 13 kg, et on doit y ajouter le poids du chariot des Y, soit un total d’environ 17 à 20 kg L’effort possible est de la moitié de la masse embarquée, ce qui est largement suffisant.